如何解一元三次方程

一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为已知实数，a不等于0。解一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法和盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。卡尔丹公式法相对复杂，缺乏直观性，而盛金公式法更为直观且效率更高。

1. 卡尔丹公式法

卡尔丹公式法是一种解一元三次方程的常用方法，它通过复数运算得出方程的解。具体步骤如下：

步骤：

1) 将一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0转化为类似于x^3+px+q=0的形式，其中p和q为已知的实数。

2) 计算一个复数K，使得K^3=q-3p/2。

3) 计算三个解：

 

nbsp

t1 = 2 * sqrt(K) * cos((arg(K) + 2πk) / 3) b / (3a)

 

nbsp

t2 = 2 * sqrt(K) * cos((arg(K) + 2π(k + 1)) / 3) b / (3a)

 

nbsp

t3 = 2 * sqrt(K) * cos((arg(K) + 2π(k + 2)) / 3) b / (3a)

 

nbsp

其中k为整数，arg(K)表示K的辐角。

4) 解方程得到x的值。

2. 盛金公式法

盛金公式法是另一种解一元三次方程的方法，由***学者范盛金于1989年提出。该方法相比卡尔丹公式法更为简明，直接利用a、b、c、d表达方程的解。具体步骤如下：

步骤：

1) 将一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0转化为标准型：x^3+px^2+qx+r=0，其中p、q、r为已知的实数。

2) 根据韦达定理得出：p=a/p，q=(c+ap)/p=(cq+ar+1)/p，r=d/p。

3) 根据一元二次方程的求解公式，解得一个二次方程y^2+py+q=0的两个解y1和y2。

4) 带入可得：(y1+p)^3+q(y1+p)+r=0 和 (y2+p)^3+q(y2+p)+r=0。

5) 解方程组，得到两个解x1和x2。

若方程有重根，解的步骤会略有不同。

3. 其他解一元三次方程的方法

除了卡尔丹公式法和盛金公式法，还有其他一些解一元三次方程的方法可以使用：

3.1 因式分解法

当一元三次方程具有特殊因式时，可以通过因式分解将方程化简为已知的二次方程，然后求得方程的根。

3.2 近似求解法

如果要求一元三次方程的近似解，可以利用数值方法进行求解，如牛顿法或二分法等。

一元三次方程的解法有许多种，其中卡尔丹公式法和盛金公式法是常用且经典的方法。卡尔丹公式法通过复数运算得出方程的解，较为复杂，但可以精确求解。盛金公式法则直接利用a、b、c、d表达方程的解，具有更高的直观性和求解效率。还有因式分解法和近似求解法等其他方法可供选择。