一元二次方程的求根公式配方法

一元二次方程的求根公式配方法

1. 新知探究活动

在这个活动中，我们将学习如何使用配方法来解一元二次方程。一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a≠0。我们将通过推导求根公式的步骤来了解配方法的原理和应用。

2. 推导求根公式

我们先来推导一元二次方程的求根公式。假设方程为ax²+bx+c=0，其中a≠0。我们可以通过配方法将方程变形，然后再进行求解。

步骤如下：

1. 用配方法将方程变形为(a+b)²-[(a+b)²-4ac]=0。
2. 化简得到[(a+b)²-4ac]²=0。
3. 展开开平方后得到(a+b)²-4ac=0。
4. 继续化简得到a²+2ab+b²-4ac=0。
5. 整理得到(a²+2ab+b²)-4ac=0。
6. 移项得到(a+b)²=4ac。
7. 开平方得到a+b=±√(4ac)。
8. 再次移项得到a=-b±√(4ac)。
9. 将a代入原方程得到x=(-b±√(4ac))/(2a)。

我们得到了一元二次方程的求根公式：x=(-b±√(4ac))/(2a)。

3. 配二次方

对于一般的二次方程ax²+bx+c=0，其中ac≠0，我们可以通过配二次方的方法来求解。

步骤如下：

1. 将方程两边同时除以首项系数a，得到x²+(b/a)x+(c/a)=0。
2. 将中间一项分解成两个部分，形式为(ax+b)(x+c/a)=0。
3. 令ax+b=0和x+c/a=0，解得x=-b/a和x=-c/a。

通过配二次方的方法，我们可以得到一元二次方程的两个根：x=-b/a和x=-c/a。

4. 一元二次方程的四种常见解法

一元二次方程一般有四种常见解法，包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。这些解法的选择取决于方程的形式和求解的要求。

4.1 直接开平方法

对于方程x²=p，其中p为常数，我们可以直接开平方得到两个不相等的实数根。

4.2 配方法

对于一般的二次方程ax²+bx+c=0，其中ac≠0，我们可以使用配方法将方程变形，然后再求解。

4.3 公式法

一元二次方程的求根公式可以直接应用于求解，即x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

4.4 因式分解法

如果一元二次方程可因式分解成两个一次因式的乘积，我们可以通过因式分解得到方程的根。

5. 小结

一元二次方程的求根公式配方法是解决二次方程求解问题的重要工具。通过配方法，我们可以将二次方程变形成更容易求解的形式，然后再应用求根公式或其他方法解方程。根据方程的形式和求解要求，我们可以选择不同的解法来解决问题。通过掌握这些内容，我们可以更加灵活地解决二次方程相关的数学问题。